平面內(nèi)與兩定點
連線的斜率之積等于非零常數(shù)
的點的軌跡,加上
兩點,所成的曲線
可以是圓,橢圓或雙曲線.
(Ⅰ)求曲線
的方程,并討論
的形狀與
值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)
時,對應(yīng)的曲線為
;對給定的
,對應(yīng)的曲線為
,若曲線
的斜率為
的切線與曲線
相交于
兩點,且
(
為坐標(biāo)原點),求曲線
的方程.
(Ⅰ)當(dāng)
曲線
的方程為
,
是焦點在
軸上的橢圓;
當(dāng)
時,曲線
的方程為
,
是圓心在原點,半徑為2的圓;
當(dāng)
時,曲線
的方程為
,
是焦點在
軸上的橢圓;
當(dāng)
時,曲線
的方程為
,
是焦點在
軸上的雙曲線.
(Ⅱ)
.
試題分析:(I)設(shè)動點為
M,其坐標(biāo)為
,
當(dāng)
時,由條件可得
,
即
,又
的坐標(biāo)滿足
,故依題意,曲線
的方程為
.
當(dāng)
曲線
的方程為
,
是焦點在
軸上的橢圓;
當(dāng)
時,曲線
的方程為
,
是圓心在原點,半徑為2的圓;
當(dāng)
時,曲線
的方程為
,
是焦點在
軸上的橢圓;
當(dāng)
時,曲線
的方程為
,
是焦點在
軸上的雙曲線.
(Ⅱ)曲線
;
,
:
, 設(shè)圓
的斜率為
的切線
和橢圓
交于
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2)兩點,令直線
AB的方程為
,①
將其代入橢圓
的方程并整理得
由韋達(dá)定理得
②
因為
,所以
③
將①代入③并整理得
聯(lián)立②得
④,因為直線
AB和圓
相切,因此
,
,
由④得
所以曲線
的方程
,即
.
點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,著重考查圓錐曲線的軌跡問題,突出化歸思想、分類討論思想、方程思想的考查,綜合性強(qiáng),難度大,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)
是橢圓
上的兩點,已知向量
,若
且橢圓的離心率
,短軸長為2,
O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)試問△
AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓
=1上一點P與橢圓的兩個焦點F
1、F
2的連線互相垂直,則△PF
1F
2的面積為_____________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓E:
(
)離心率為
,上頂點M,右頂點N,直線MN與圓
相切,斜率為k的直線l經(jīng)過橢圓E在正半軸的焦點F,且交E于A、B不同兩點.
(1)求E的方程;
(2)若點G(m,0)且| GA|=| GB|,
,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).若以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 求直線
被曲線
所截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
直線
與曲線
的交點個數(shù)為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)
分別為雙曲線
的左右焦點,點P在雙曲線的右支上,且
,
到直線
的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若點
O和點
F分別為雙曲線
的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則
的最小值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知
是拋物線
的焦點,
是
上的兩個點,線段
AB的中點為
,則
的面積等于
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