Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若（n∈N*），求數(shù)列的前n項(xiàng)和;

（3）是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系，即可求出的通項(xiàng)公式；

（2）由 ，可采用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切正整數(shù)恒成立，

即對(duì)一切正整數(shù)恒成立，只需滿足即可，利用作差法得出其單調(diào)性，即可求解．

（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=2或-1（舍去）．

當(dāng)n≥2時(shí)，，

整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，

∴{an}是以a1=2為首項(xiàng)，d=1為公差的等差數(shù)列．∴．

（2）由（1）得an=n+1，∴．

∴．

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切正整數(shù)恒成立，

即對(duì)一切正整數(shù)恒成立，只需滿足即可，

令，則

當(dāng)

故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…

當(dāng)n=3時(shí)有最小值，所以．