Question

15．如圖，已知圓的方程為x²+y²=$\frac{1}{2}$，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，過原點(diǎn)的射線交圓于A，交橢圓于B，過A、B分別作x軸和y軸的平行線，求所作二直線交點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 將直線方程代入圓和橢圓的方程，求得交點(diǎn)，由代入法消去k，即可得到所求軌跡方程．

解答 解：設(shè)OB：y=kx，代入圓的方程，可得A（±$\frac{1}{\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}$，±$\frac{k}{\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}$），
聯(lián)立y=kx和橢圓方程，可得B（±$\frac{20}{\sqrt{16+25{k}^{2}}}$，±$\frac{20k}{\sqrt{16+25{k}^{2}}}$），
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{20}{\sqrt{16+25{k}^{2}}}}\\{y=±\frac{k}{\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}}\end{array}\right.$．
消去k，可得8x²+400y²+9x²y²=200，
故所作二直線交點(diǎn)P的軌跡方程為8x²+400y²+9x²y²=200．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓、直線和橢圓方程的聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．