Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{{a}^{\;}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的一點P（x₀，y₀）到左焦點與到右焦點的距離之差為8，且到兩漸近線的距離之積為$\frac{16}{5}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義知a，根據(jù)雙曲線方程可得它的漸近線方程為bx±ay=0，利用點到直線的距離，結(jié)合已知條件列式，可得b，再用平方關系可算出c=，最后利用雙曲線離心率的公式，可以計算出該雙曲線的離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線的定義知，2a=8，∴a=4，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩條漸近線的方程為bx-ay=0或bx+ay=0，
點P（x₀，y₀）到兩條漸近線的距離之積為$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$×$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{16}{5}$，
即$\frac{^{2}{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
又已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$右支上的一點P（x₀，y₀），∴$^{2}{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}^{2}$，
∴$\frac{^{2}{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{16}{5}$，即$\frac{{16b}^{2}}{16+^{2}}=\frac{16}{5}$，
∴b=2，∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：A．

點評 本題給出雙曲線一個焦點到漸近線的距離與到左焦點的距離與到右焦點的距離之差，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．