Question

【題目】已知p：x∈R，x2+2x≥a，q：x2﹣4x+3≤0，r：（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0．

（1）若命題p的否定是假命題，求實數a的取值范圍；

（2）若q是r的必要條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，﹣1]，(2) [1，2]．

【解析】

（1）由命題間的關系，即求命題為真時，的取值范圍，利用二次函數的性質，可求得結果；

（1）求出命題為真時，的集合，q是r的必要條件，轉化為集合間關系，即可求出的取值范圍.

p：x∈R，x2+2x≥a，q：x2﹣4x+3≤0，r：（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，

∴根據二次函數的性質可知，x2+2x的最小值﹣1，

故P：a≤﹣1，

由x2﹣4x+3≤0可得1≤x≤3，

由（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，可得m≤x≤m+1，

故q：A＝[1，3]，r：B＝[m，m+1]，

（1）若命題p的否定是假命題，即p為真命題，

故a的范圍（﹣∞，﹣1]，

（2）若q是r的必要條件，則rq，從而有BA，

∴，

解可得，1≤m≤2，

故m的范圍[1，2]．