Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓E上一點(diǎn)，滿足軸，．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于兩點(diǎn)A，B，若在橢圓B上存在點(diǎn)Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)，，，建立的方程即可求解（2）斜率不存在時(shí)不符合題意，斜率存在時(shí)利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求出AB 中點(diǎn)，可得出Q坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓上上求出斜率.

（1）由軸，得，所以．

因?yàn)?/span>，，所以，

即，得，

解得或（舍），所以．

（2）因?yàn)?/span>，所以，

橢圓E方程可化為．

若直線l斜率不存在，直線，與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立．

（法一）設(shè)直線l方程為，，，AB中點(diǎn)，

因?yàn)橹本�l過點(diǎn)，所以，

聯(lián)立方程組，得．

，得．

由韋達(dá)定理，，，

得，，即點(diǎn)．

因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>OAQB，所以點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，

化簡(jiǎn)得．

由，得，解得．

（法二）設(shè)直線l的方程為，，，AB中點(diǎn)，

由，得，

，得．

由韋達(dá)定理，，，

得，，即點(diǎn)．

因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>OAQB，所以點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，

化簡(jiǎn)得，解得．