【題目】如圖所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60°.直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AF=2AB=2.
(Ⅰ)證明:平面ABE⊥平面EBD;
(Ⅱ)點M在線段EF上,試確定點M的位置,使平面MAB與平面ECD所成的角的余弦值為 .
【答案】(I)證明:∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED平面ADEF, ∴ED⊥平面ABCD,∵AB平面ABCD,
∴ED⊥AD,
∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°,
∴BD= = ,
∴AB2+BD2=AD2 , ∴AB⊥BD,
又BD平面BDE,ED平面BDE,BD∩ED=D,
∴AB⊥平面BDE,又AB平面ABE,
∴平面ABE⊥平面EBD.
(II)解:以B為原點,以BA,BD為x軸,y軸建立空間直角坐標系B﹣xyz,
則A(1,0,0),B(0,0,0),C(﹣ , ,0),D(0, ,0),E(0, ,2),
F(1,0,1),則 =( , ,0), =(0,0,2), =(1,0,0), =(1,﹣ ,﹣1),
設 =λ =(λ,﹣ λ,﹣λ)(0≤λ≤1),則 = + =(λ, ﹣ ,2﹣λ),
設平面CDE的法向量為 =(x1 , y1 , z1),平面ABM的法向量為 =(x2 , y2 , z2),
則 , ,
∴ , ,
令y1=1得 =(﹣ ,1,0),令y2=2﹣λ得 =(0,2﹣λ, ),
∴cos< >= = = ,解得λ= ,
∴當M為EF的中點時,平面MAB與平面ECD所成的角的余弦值為 .
【解析】(I)計算BD,根據(jù)勾股定理逆定理得出AB⊥BD,再根據(jù)ED⊥平面ABCD得出ED⊥AB,故而AB⊥平面ADEF,從而平面ABE⊥平面EBD;(II)建立空間坐標系,設 =λ ,求出兩平面的法向量,令法向量的夾角余弦值的絕對值等于 ,解出λ即可得出結(jié)論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)上的點到右焦點F的最小距離是 ﹣1,F(xiàn)到上頂點的距離為 ,點C(m,0)是線段OF上的一個動點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,使得( + )⊥ ,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市食品藥品監(jiān)督管理局開展2019年春季校園餐飲安全檢查,對本市的8所中學食堂進行了原料采購加工標準和衛(wèi)生標準的檢查和評分,其評分情況如下表所示:
中學編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
原料采購加工標準評分x | 100 | 95 | 93 | 83 | 82 | 75 | 70 | 66 |
衛(wèi)生標準評分y | 87 | 84 | 83 | 82 | 81 | 79 | 77 | 75 |
(1)已知x與y之間具有線性相關關系,求y關于x的線性回歸方程;(精確到0.1)
(2)現(xiàn)從8個被檢查的中學食堂中任意抽取兩個組成一組,若兩個中學食堂的原料采購加工標準和衛(wèi)生標準的評分均超過80分,則組成“對比標兵食堂”,求該組被評為“對比標兵食堂”的概率.
參考公式:,;
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若對任意x∈(0,π),不等式ex﹣e﹣x>asinx恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣2,2]
B.(﹣∞,e]
C.(﹣∞,2]
D.(﹣∞,1]
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【題目】已知圓
(1)求圓關于直線對稱的圓的標準方程;
(2)過點的直線被圓截得的弦長為8,求直線的方程;
(3)當取何值時,直線與圓相交的弦長最短,并求出最短弦長.
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【題目】某研究型學習小組調(diào)查研究高中生使用智能手機對學習的影響,部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
使用智能手機 | 不使用智能手機 | 合計 | |
學習成績優(yōu)秀 | |||
學習成績不優(yōu)秀 | |||
合計 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),你是否有 的把握認為使用智能手機對學習有影響?
(2)為了進一步了解學生對智能手機的使用習慣,現(xiàn)在對以上使用智能手機的高中時采用分層抽樣的方式,抽取一個容量為 的樣本,若抽到的學生中成績不優(yōu)秀的比成績優(yōu)秀的多 人,求 的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2aln x.
(1)當a=1時,求函數(shù)f′(x)的最小值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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【題目】定義在上的函數(shù)滿足:對任意的實數(shù),存在非零常數(shù),都有成立.
(1)當時,若, ,求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域;
(2)設函數(shù)的值域為,證明:函數(shù)為周期函數(shù).
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【題目】已知函數(shù)對一切實數(shù)都有成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式,并用定義法證明在單調(diào)遞增;
(3)已知,設P:,不等式恒成立,Q:時,是單調(diào)函數(shù)。如果滿足P成立的的集合記為A,滿足Q成立的集合記為B,求(R為全集)。
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