Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在非零常數(shù)，都有成立.

（1）當(dāng)時(shí)，若， ，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；

（2）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>，證明：函數(shù)為周期函數(shù).

Answer 1

【答案】(1) (2) 見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）利用，分別求得函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式，并求得其值域.（2）首先判斷出值域相同.當(dāng)時(shí)，利用求得的值，并利用周期性的定義證明得函數(shù)是周期為的周期函數(shù).同理可證明當(dāng)，函數(shù)也為周期函數(shù).

詳解：

（1）當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，即，

由得，則，

當(dāng)時(shí)，即，

由得，則，

當(dāng)時(shí)，即，

由得，

綜上得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

（2）（證法一）由函數(shù)的值域?yàn)?/span>得， 的取值集合也為，

當(dāng)時(shí)， ，則，即.

由得，

則函數(shù)是以為周期的函數(shù).

當(dāng)時(shí)， ，則，即.

即，則函數(shù)是以為周期的函數(shù).

故滿(mǎn)足條件的函數(shù)為周期函數(shù).

（證法二）由函數(shù)的值域?yàn)?/span>得，必存在，使得，

當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，

對(duì)，有，則不可能；

當(dāng)時(shí)，即， ，

由的值域?yàn)?/span>得，必存在，使得，

仿上證法同樣得也不可能，則必有 ，以下同證法一.