Question

設(shè)f（x）=lnx．
（Ⅰ）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-

1

x

）恒成立，求m的范圍；
（Ⅱ）求證：ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

（n∈N₊）．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求m的范圍；
（Ⅱ）先證明

1

4

[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜

k

4k2-1

，再代入累加，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意，?x∈[1，+∞），lnx≤m(x-

1

x

)
設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0．
∴g′（x）=

-mx2+x-m

x2

--------（2分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾．---（4分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²
當(dāng)△≤0，即m≥

1

2

時(shí)，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．--------------（6分）
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，方程-mx²+x-m=0，其根x₁=

1- 1-4m2

2m

＞0，x₂=

1+ 1-4m2

2m

＞1，
當(dāng)x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設(shè)矛盾．
綜上所述，m≥

1

2

．-----------------------（8分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞1時(shí)，m=

1

2

時(shí)，lnx＜

1

2

（x-

1

x

）成立．
不妨令x=

2k+1

2k-1

，x∈N^*，
∴l(xiāng)n

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

）=

4k

4k2-1

，
∴

1

4

[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜

k

4k2-1

------（10分）
∴

1

4

（ln3-ln1）＜

1

4×12-1

1

4

（ln5-ln3）＜

2

4×22-1

，
…

1

4

[ln（2n+1）-ln（2n-1）＜

n

4n2-1

------（12分）
累加可得

1

4

ln（2n+1）＜

n

i=1

i

4i2-1

即ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

---------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．