Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x＞0），設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（x_n+1，0）（n∈N^*），其中x₁=1
（1）求證數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=n•x_n，是否存在最小的正整數(shù)M，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b₁+b₂+b₃+…+b_n＜M恒成立？若存在，求出M的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得f′（x）=2x，x＞0，f（x_n）=xn2，在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線方程為l_n：y-xn2=2x_n（x-x_n），xn+1=

1

2

xn，n∈N^*，由此能證明數(shù)列{x_n}是以x₁=1為首項(xiàng)，以q=

1

2

為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為x_n=

1

2n-1

，n∈N^*．
（2）由b_n=

2n

2n

利用錯(cuò)位相減法能求出b₁+b₂+b₃+…+b_n＜4恒成立．

解答： （1）證明：∵函數(shù)f（x）=x²（x＞0），
∴f′（x）=2x，x＞0，f（x_n）=xn2，
∴在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線的方程為l_n：y-xn2=2x_n（x-x_n），
令y=0，得x=

1

2

xn，
即它與x軸的交點(diǎn)為（

1

2

xn，0），∴xn+1=

1

2

xn，n∈N^*，
∵x₁=1≠0，∴x_n≠0，且

xn+1

xn

=

1

2

，n∈N^*，
∴數(shù)列{x_n}是以x₁=1為首項(xiàng)，以q=

1

2

為公比的等比數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為x_n=

1

2n-1

，n∈N^*．
（2）解：由（1）知b_n=

2n

2n

，（n∈N^*），
設(shè)S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
則Sn=2×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+…+2n•(

1

2

)n，①

1

2

Sn=2×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+2n×(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴S_n=4-

n+2

2n-1

＜4．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜4恒成立，
M=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．