Question

已知圓O：x²+y²=4內(nèi)一定點(diǎn)Q（1，0），過(guò)點(diǎn)Q作傾斜角不為0°的直線L交圓O于A、B兩點(diǎn)．
（1）若

AQ

=2

QB

，求直線L的方程；
（2）試證在x軸上存在一定點(diǎn)M，使得MQ平分∠AMB，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)M，若∠AMB=60°，求△AMB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用

AQ

=2

QB

，確定A，B縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，設(shè)直線L的方程為x=my+1，代入圓O：x²+y²=4，利用韋達(dá)定理，即可求直線L的方程；
（2）MQ平分∠AMB，k_AM=-k_MB，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論；
（3）求出線AM的方程，與圓方程聯(lián)立，求出A的坐標(biāo)，即可求△AMB的面積．

解答： （1）解：令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵

AQ

=2

QB

，Q（1，0），
∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），
∴x₁+2x₂=3，y₁=-2y₂，
設(shè)直線L的方程為x=my+1，代入圓O：x²+y²=4，
整理可得（m²+1）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-

2m

m2+1

，y₁y₂=-

3

m2+1

，
∴-y₂=-

2m

m2+1

，-2y₂²=-

3

m2+1

，
∴m=±

3

，
∴直線L的方程為x=±

3

y+1；
（2）證明：設(shè)M（t，0），則
∵M(jìn)Q平分∠AMB，
∴k_AM=-k_MB，
∴

y1

x1-t

=-

y2

x2-t

，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+1-t）+y₁（my₂+1-t）=0，
∴2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m•（-

3

m2+1

）+（1-t）（-

2m

m2+1

）=0，
∴2m（4-t）=0，
∴t=4，即M（4，0），MQ平分∠AMB；
（3）解：由（2）知，直線AM的傾斜角為150°，則其方程為y=-

3

3

（x-4），
代入圓的方程，可得x²-2x+1=0，∴x=1，
∴A（1，

3

），
∴△AMB的面積為

1

2

•（4-1）•2

3

=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查向量知識(shí)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．