Question

已知A，B是橢圓C：2x²+3y²=9上兩點，點M的坐標(biāo)為（1，0）．
（Ⅰ）當(dāng)A，B兩點關(guān)于x軸對稱，且△MAB為等邊三角形時，求AB的長；
（Ⅱ）當(dāng)A，B兩點不關(guān)于x軸對稱時，證明：△MAB不可能為等邊三角形．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用A，B兩點關(guān)于x軸對稱，且△MAB為等邊三角形時，求出A的坐標(biāo)，即可求AB的長；
（Ⅱ）求出MA，MB，證明|MA|≠|(zhì)MB|，即可證明：△MAB不可能為等邊三角形．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），---------------------------------------（1分）
因為△ABM為等邊三角形，所以|y0|=

3

3

|x0-1|．---------------------------------（2分）
又點A（x₀，y₀）在橢圓上，
所以 

|y0|= 3 3 |x0-1| 2x02+3y02=9

消去y₀，-----------------------------------------（3分）
得到 3x02-2x0-8=0，解得x₀=2或x0=-

4

3

，----------------------------------（4分）
當(dāng)x₀=2時，|AB|=

2 3

3

；
當(dāng)x0=-

4

3

時，|AB|=

14 3

9

．-----------------------------------------（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），則2x12+3y12=9，且x₁∈[-3，3]，
所以 |MA|=

(x1-1)2+y12

=

(x1-1)2+3- 2 3 x12

=

1 3 (x1-3)2+1

，----------（8分）
設(shè)B（x₂，y₂），同理可得|MB|=

1 3 (x2-3)2+1

，且x₂∈[-3，3]-----------（9分）
因為y=

1

3

(x-3)2+1在[-3，3]上單調(diào)
所以，有x₁=x₂?|MA|=|MB|，------------------------（11分）
因為A，B不關(guān)于x軸對稱，所以x₁≠x₂．
所以|MA|≠|(zhì)MB|，--------------------（13分）
所以△ABM不可能為等邊三角形．---------------------（14分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查兩點間距離公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．