Question

12．設(shè)定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足：
（1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（-x）-f（x）=0；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x+π）+f（x）=1；
（3）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0≤f（x）≤1；
（4）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，有（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0（其中f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
則方程f（x）=|sinx|在[-2π，2π]上的根的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 利用已知條件判斷函數(shù)f（x）的性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，y=|sinx|的圖象，即可判斷方程根的個(gè)數(shù)．

解答 解：定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（-x）-f（x）=0，可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x+π）+f（x）=1，可得f（x+2π）+f（x+π）=1，即f（x+2π）=f（x），函數(shù)的周期為2π；
（3）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0≤f（x）≤1，可得函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，1]；
（4）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，有（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，可知函數(shù)y=f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）是減函數(shù)，x∈（$\frac{π}{2}$，π）是增函數(shù)．
由上作出函數(shù)y=f（x）與y=|sinx|在[-2π，2π]上的圖象如圖：

由圖可知，方程f（x）=|sinx|在[-2π，2π]上的根的個(gè)數(shù)為8．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．