精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知橢圓，、是其左右焦點，離心率為，且經過點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若、分別是橢圓長軸的左右端點，為橢圓上動點，設直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動點，求的最小值.
（1）橢圓的方程為；（2）直線的斜率的取值范圍是；
（3）的最小值是.

試題分析：（1）利用離心率以及確定、之間的等量關系，然后將點的坐標代入橢圓的方程求出、，從而確定橢圓的標準方程；（2）設直線的斜率為，并設點的坐標為，利用點在橢圓上以及斜率公式得到，進而利用的取值范圍可以求出的取值范圍；（3）利用已知條件，利用余弦定理得到，結合基本不等式求出的最小值.
試題解析：（1），故橢圓的方程為；
（2）設的斜率為，設點，
則，，
及，
則＝ 又，
，故斜率的取值范圍為；
（3）設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為、、，則有
，，，，
由橢圓定義，有，
 



的最小值為.
（當且僅當時，即取橢圓上下頂點時，取得最小值）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（13分）如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應如何設計拱高h和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知定點、，動點N滿足（O為坐標原點），，，，求點P的軌跡方程.

（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（�。┰O直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點為，，且經過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．(12分)

（1）求橢圓的方程；（3分）
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；（4分）
（3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值．（5分）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設直線與,與,與的交點依次為.

（1）以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.
（3）設線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓，圓，動圓與已知兩圓都外切.
（1）求動圓的圓心的軌跡的方程；
（2）直線與點的軌跡交于不同的兩點、，的中垂線與軸交于點，求點的縱坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案