Question

【題目】已知，．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于，恒成立；

（2）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，得出的最大值，證明即可；

（2）由（1）易知時(shí)顯然不滿足，而時(shí)，時(shí)，，此時(shí)更不可能成立，當(dāng)時(shí)，令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，證得成立即可.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，

令，，

令，即，解得或（舍）．

所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

所以，

所以對(duì)于，即.

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)于，

不存在滿足條件的；

當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，此時(shí)，

所以，

即恒成立，不存在滿足條件的；

當(dāng)時(shí)，令，，

令，

又為一開(kāi)口向下的拋物線，且時(shí)，，

又，

所以必存在，使得．

所以時(shí)，，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，，即恒成立，

綜上，k的取值范圍為．