已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過右焦點(diǎn)F2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),試問A、B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長.

分析:由題意,直線l的方程已定,欲判斷直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)A、B是否位于同一支上,需判斷A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積x1·x2的符號.至于求弦長|AB|,只需用公式|AB|=1+k2·|x1-x2|來計算.

解:a=1,b=,c=2,e=2.

∵直線l過點(diǎn)F2且傾斜角為45°,

∴直線l的方程為y=x-2,代入雙曲線方程,得2x2+4x-7=0.

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

∵x1·x2=-＜0,

∴A、B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上.

∵x1+x2=-2,x1·x2=-,

∴|AB|=|x1-x2|=

綠色通道：

在運(yùn)用雙曲線第二定義計算焦點(diǎn)弦(即過焦點(diǎn)的弦)長時,需要判斷弦的兩個端點(diǎn)是落在雙曲線的同一支還是兩支上,若在同一支上,則焦點(diǎn)弦長等于兩焦半徑之差的絕對值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到一條漸近線l的距離為4，若漸近線l恰好是曲線y=x3-3x2+2x在原點(diǎn)處的切線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）且以
d
=(1，a)為一個方向向量的直線l與雙曲線3x2-y2=1相交于不同兩點(diǎn)A、B．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若點(diǎn)A、B均在已知雙曲線的右支上，且滿足
OA
•
OB
=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=
1
2
x-8對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線頂點(diǎn)間的距離為6，一條漸近線方程為y=
3x2
，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l:y=kx-1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程.

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