Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)l的距離為4，若漸近線(xiàn)l恰好是曲線(xiàn)y=x³-3x²+2x在原點(diǎn)處的切線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線(xiàn)的斜率，求出在原點(diǎn)處的切線(xiàn)．再根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而代入焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，求得a和b，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可得．

解答：解：f′（x）=3x²-6x+2．設(shè)切線(xiàn)的斜率為k．
切點(diǎn)是原點(diǎn)，k=f′（0）=2，所以所求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y=2x．
∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是 y=2x，
∴

b

a

=2
又∵

|2c|

22+12

=

|2c|

5

=4
∴c=2

5

，∵c²=a²+b²
∴a²=4  b²=16
∴雙曲線(xiàn)方程為

x2

4

-

y2

16

=1
故答案為

x2

4

-

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，考查運(yùn)算求解能力、推理能力，還考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，屬于基礎(chǔ)題．