【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)是的反函數(shù).當時,解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素,求實數(shù)的值;
(3)設(shè),若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)或;(3).
【解析】
(1)先由,得到,求出其反函數(shù),解對應不等式,即可得出結(jié)果;
(2)先由得到,分別討論和兩種情況,即可得出結(jié)果;
(3)根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性,得到在區(qū)間上單調(diào)遞減,求出其最值,根據(jù)題意,得到,推出對任意的恒成立,令,求出的最大值,即可得出結(jié)果.
(1)當時,,由得,所以,
因為是的反函數(shù),
所以,,
由得,所以:,解得:,
即不等式的解集為;
(2)方程即,
所以,
①,則,經(jīng)過驗證,滿足關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素;
②時,(i)若,解得,代入,解得,經(jīng)過驗證,滿足關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素;
(ii)若,則;
當時,由解得:或,即方程的解要在范圍內(nèi),
解方程得,因為,
所以為使關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素,
只需,即,顯然不成立;
當時,由解得:,即方程的解要在范圍內(nèi),
解方程得,因為,所以,,且,
因此只需,即,
即,解得:,與矛盾,也不滿足題意;
綜上,實數(shù)的值為或;
(3)由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)遞增,根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減,因為,,
所以,根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性,可得在區(qū)間上單調(diào)遞減,
因此,,
又函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,
所以,
即,整理得,即對任意的恒成立,
令,,
任取,則
,
因為,所以,,,
因此,即;
所以在上單調(diào)遞減,
所以,
因此,只需.
故的取值范圍為.
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【題目】在平面直角坐標系中,,設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點,已知,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過的直線與軸正半軸交于點,與曲線E交于點軸,過的另一直線與曲線交于兩點,若,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù),使得成立,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點,說明理由:
(2)已知向量,,,證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.
(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程在上有解,求的取值范圍;
(3)若對于恒成立,求的取值范圍.
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【題目】圖(1)為東方體育中心,其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖(2)所示;曲線是以點為圓心的圓的一部分,其中,曲線是拋物線的一部分;且恰好等于圓的半徑,與圓相切且.
(1)若要求米,米,求與的值;
(2)當時,若要求不超過45米,求的取值范圍.
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【題目】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標賽男子團體決賽中,中國隊與韓國隊相遇,中國隊男子選手A,B,C,D,E依次出場比賽,在以往對戰(zhàn)韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比賽勝負相互獨立.賽會釆用5局3勝制,先贏3局者獲得勝利.
(1)在決賽中,中國隊以3∶1獲勝的概率是多少?
(2)求比賽局數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】設(shè)雙曲線方程為,過其右焦點且斜率不為零的直線與雙曲線交于A,B兩點,直線的方程為,A,B在直線上的射影分別為C,D.
(1)當垂直于x軸,時,求四邊形的面積;
(2),的斜率為正實數(shù),A在第一象限,B在第四象限,試比較與1的大;
(3)是否存在實數(shù),使得對滿足題意的任意,直線和直線的交點總在軸上,若存在,求出所有的值和此時直線和交點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),為實數(shù).
(1)討論在上的奇偶性;(只要寫出結(jié)論,不需要證明)
(2)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當時,求函數(shù)在上的最大值.
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