Question

【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）利用分段函數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論；

（2）兩個向量的數(shù)量積共公式以及三角恒等變換，化簡的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得的范圍．

（1）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，理由如下：

當時，有，且當時，有；

當時，是增函數(shù)，有，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（2）由向量，，，

所以，，

令，，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，使得，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（3）由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，該二次函數(shù)的對稱軸為，

①當，即時，函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，

只需，即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍為.

②當，即時，若使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有零點，

則，解得或，

所以，，

i當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，即，符合題意，

ii當時，若使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，只需，

即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍為或.

③當，即時，函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，

當時，只需，即，解得，

當時，令，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上具有唯一零點，符合題意，

所以實數(shù)的取值范圍為.

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.