Question

【題目】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).

（1）討論在上的奇偶性；（只要寫出結(jié)論，不需要證明）

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，奇函數(shù)：時(shí)，非奇非偶函數(shù)；

（2）時(shí)，遞增；時(shí)，在和上遞增，在上遞減；

（3）當(dāng)，；當(dāng)，.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>,可得,對(duì)進(jìn)行討論,結(jié)合奇偶函數(shù)的定義即可求得答案;

（2）分別討論和兩種情況,即可求得時(shí),函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論,根據(jù)單調(diào)性,即可求得函數(shù)在上的最大值.

（1）

當(dāng)時(shí),,此時(shí)是奇函數(shù)

當(dāng)時(shí),是奇函數(shù)非奇非偶函數(shù).

（2）

①當(dāng)時(shí),,

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，又該函數(shù)在上連續(xù)，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)時(shí), ，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在和上遞增,在上遞減.

綜上所述，時(shí)，遞增；時(shí)，在和上遞增，在上遞減；

（3）由（2）可知當(dāng)時(shí),為增函數(shù),

當(dāng)時(shí),

此時(shí)對(duì)稱軸為:,

當(dāng),此時(shí)函數(shù)在上遞減,

,

若,解得,此時(shí)，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在閉區(qū)間上最大值為，

若,解得時(shí),函數(shù)在閉區(qū)間上最大值為.

綜上所述,當(dāng),;

當(dāng),.