Question

已知函數(shù)f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其

中t∈R.

①當(dāng)t＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；

②當(dāng)t≠0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

①6x＋y＝0②在上遞增，上遞減，(－t，＋∞)上遞增．

【解析】①t＝1時(shí)，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.

∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.

②t≠0時(shí)，f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(2x2＋tx－t2)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，則由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t<x<，

∴f(x)在(－∞，－t)上遞增，在上遞減．在上遞增，

若t<0，則由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得<x<－t.

∴f(x)在上遞增，上遞減，(－t，＋∞)上遞增．