Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．

①寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

②求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

 

Answer 1

①y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2②當(dāng)3<c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)，r＝ .

【解析】①設(shè)容器的容積為V，

由題意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，

∴l＝.

由于l≥2r，∴≥2r，∴0<r≤2.

所以建造費(fèi)用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c

因此，y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.

②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，

由于c>3，

∴c－2>0.由y′＝0得r＝

若0< <2，即c>時(shí)，此時(shí)0<r< 時(shí)，y′<0，<r<2時(shí)，y′>0.

∴r＝時(shí)，y取得極小值．

若 ≥2，即3<c≤時(shí)，0<r<2時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴r＝2時(shí)，y取得極小值．

總之，當(dāng)3<c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；

當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)，r＝ .