【題目】如圖,在棱長為1的正方體中, 為線段的中點,為線段上一動點.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)當時,求三棱錐的體積;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使得平面?說明理由.
【答案】(1)證明見解析.
(2).
(3)存在;理由見解析.
【解析】
(1)連結,借助于正方體的特征,結合線面垂直的判定和線面垂直的性質,得到;
(2)根據題中的條件,確定出對應的點的位置,將三棱錐的頂點和底面轉換,利用體積相等,求得結果;
(3)借助于平行四邊形找到平行線,利用線面平行的判定定理,證得結果.
(Ⅰ)連結.
在正方體中,
,,
所以.
因為為正方形,,
所以.
又因為,
所以.
因為,
所以.
(Ⅱ)過點作,交于點.
在正方體中,
因為,
又因為,
所以.
所以為三棱錐的高.
因為,
所以.
所以
(III)存在. 當為中點時,平面.
設為中點,連結.
因為、分別為、的中點,
所以.
因為,
所以.
所以.
在正方形中,
因為為中點,
所以,且.
所以四邊形為平行四邊形.
所以
因為,,
所以平面.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義非零向量的“相伴函數(shù)”為(),向量稱為函數(shù)的“相伴向量”(其中為坐標原點),記平面內所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為.
(1)已知(),求證:,并求函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍;
(2)已知點()滿足,向量的 “相伴函數(shù)”在處取得最大值,當點運動時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】北京市某年11月1日—20日監(jiān)測最高最低溫度及差值數(shù)據如下:
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
最高溫度(℃) | 20 | 16 | 14 | 20 | 20 | 20 | 18 | 15 | 12 | 11 | 12 | 12 | 13 | 9 | 8 | 6 | 13 | 11 | 10 | 14 |
最低溫度(℃) | 5 | 4 | 2 | 4 | 9 | 6 | 9 | 3 | -1 | 0 | 5 | 1 | 4 | -1 | -4 | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 |
差值(℃) | 15 | 12 | 12 | 16 | 11 | 14 | 9 | 12 | 13 | 11 | 7 | 11 | 9 | 10 | 12 | 8 | 14 | 11 | 9 | 11 |
(Ⅰ)完成下面的頻率分布表及頻率分布直方圖,并寫出頻率分布直方圖中的值;
(Ⅱ)從日溫差大于等于的這些天中,隨機選取2天.求這兩天中至少有一天的溫差在區(qū)間內的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知x∈(0, ),則函數(shù)f(x)=sinxtanx+cosxcotx的值域為( )
A.[1,2)
B.[ ,+∞)
C.(1, ]
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班級有50名學生,其中有30名男生和20名女生,隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93,下列說法正確的是( )
A.這種抽樣方法是一種分層抽樣
B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D.該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f′(x)﹣f(x)=xex , 且f(0)= ,則 的最大值為( )
A.0
B.
C.1
D.2
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