Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中點．
（1）求證：CM⊥平面PAB；
（2）設二面角A-PB-C的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直，得PA⊥CM，由正三角形性質(zhì)，得CM⊥AB，由此能證明CM⊥平面PAB．
（Ⅱ）以M為原點，MC為x軸，MB為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出cosθ．

解答： （本題15分）
（Ⅰ）證明：因為PA⊥底面ABC，
所以PA⊥CM．┅（3分）
因為△ABC是正三角形，
M是AB的中點，所以CM⊥AB．┅（6分）
所以，CM⊥平面PAB．┅（7分）
（Ⅱ）解：以M為原點，MC為x軸，MB為y軸，
建立空間直角坐標系O-xyz，如圖．

AP

=(0，0，3)，

AC

=（2

3

，2，0）．
設

n

=（x，y，z）是平面APC的法向量，
則

n • AP =3z=0 n • AC =2 3 x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-

3

，0）．┅（10分）

BP

=(0，-4，3)，

BC

=(2

3

，-2，0)．
設

m

=(a，b，c)是平面BPC的法向量，
則

m • BP =-4b+3c=0 m • BC =2 3 a-2b=0

，取a=

3

，得

m

=(

3

，3，4)．┅（13分）
故cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

2 3

2×2 7

=

21

14

．┅（15分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．