Question

已知函數(shù)f（x）=a（x²-1）-lnx
（1）若y=f（x）在x=2處取得極小值，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：當n≥2且n∈N^*時，

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

3n2-n-2

2n2+2n

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導判，根據(jù)f′（x）=0，求的a的值，需要驗證．
（2）需要分類討論，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的最小值；
（3）由（Ⅱ）

1

lnx

＞

2

x2-1

，利用列項求和證明即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2ax-

1

x

，
∵y=f（x）在x=2處取得極小值，
∴f′（2）=0，即a=

1

8

，
此時，經(jīng)驗證x=2是f（x）的極小值點，故a=

1

8

，
（2）∵f′（x）=2ax-

1

x

，
①當a≤0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞減，
∴當x＞1時，f（x）＜f（1）=0矛盾．
②當a＞0時，f′（x）=

2ax2-1

x

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

2a

；f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2a

（�。┊�

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時，
∴x∈（1，

1

2a

）時，f′（x）＜0，即f（x）遞減，
∴f（x）＜f（1）=0矛盾．
（ⅱ）當

1

2a

≤1，即a＞

1

2

時，
∴x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）遞增，
∴f（x）≥f（1）=0滿足題意．
綜上，a≥

1

2

．
（3）證明：由（Ⅱ）知令a=

1

2

，當x∈[1，+∞）時，

1

2

（x²-1）-lnx≥0（當且僅當x=1時取“=”）
∴當x＞1時，

1

lnx

＞

2

x2-1

，
即當x=2，3，4，…，n
∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞2（

1

22-1

+

1

32-1

+…+

1

n2-1

）=2（

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

(n-1)(n+1)

=[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

）]=

3n2-n-2

2n2+2n

．

點評：本題綜合性很強，考查了導數(shù)的綜合應用，考查恒成立的問題，以及不等式的證明及裂項求和的方法，屬于難題