【題目】已知函數(shù),.
(1)若,則,滿(mǎn)足什么條件時(shí),曲線與在處總有相同的切線?
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的恒成立,求的取值的集合.
【答案】(1)且,(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為,;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為,,(3).
【解析】
試題(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義分別求出曲線與在處的切線斜率,再根據(jù)兩者相等得到,滿(mǎn)足的條件,易錯(cuò)點(diǎn)不要忽視列出題中已知條件,(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,一是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二是判斷對(duì)應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值符號(hào).本題難點(diǎn)在于導(dǎo)數(shù)為零時(shí)根的大小不確定,需根據(jù)根的大小關(guān)系分別討論單調(diào)減區(qū)間情況,尤其不能忽視兩根相等的情況,(3)本題恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值不小于零,難點(diǎn)是求函數(shù)的最小值時(shí)須分類(lèi)討論,且每類(lèi)否定的方法為舉例說(shuō)明.另外,本題易想到用變量分離法,但會(huì)面臨問(wèn)題,而這需要高等數(shù)學(xué)知識(shí).
試題解析:(1),,又,
在處的切線方程為, 2分
又,,又,在處的切線方程為,
所以當(dāng)且時(shí),曲線與在處總有相同的切線 4分
(2)由,,,
, 7分
由,得,,
當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為,;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為,. 10分
(3)由,則,,
①當(dāng)時(shí),,函數(shù)在單調(diào)遞增,
又,時(shí),,與函數(shù)矛盾, 12分
②當(dāng)時(shí),,;,
函數(shù)在單調(diào)遞減;單調(diào)遞增,
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,又,,與函數(shù)矛盾,
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),同理,與函數(shù)矛盾,
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,函數(shù)在單調(diào)遞減;單調(diào)遞增,
,故滿(mǎn)足題意.
綜上所述,的取值的集合為. 16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)若展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù);
(2)若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于37,求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1) 關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求的取值范圍;
(2) 當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形,,
E是CD的中點(diǎn),PA底面ABCD,.
(I)證明:平面PBE平面PAB;
(II)求二面角A—BE—P和的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,那么概率為的事件是( )
A.至多一件一等品B.至少一件一等品
C.至多一件二等品D.至少一件二等品
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市由甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部,兩家設(shè)備和服務(wù)都很好,但收費(fèi)方式不同,甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元;乙家按月計(jì)費(fèi),一個(gè)月中30小時(shí)以?xún)?nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元,超過(guò)30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元.某公司準(zhǔn)備下個(gè)月從兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng),活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí),也不超過(guò)40小時(shí),設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)小時(shí)的收費(fèi)為元,在乙家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)小時(shí)的收費(fèi)為元.
(1)寫(xiě)出與的解析式;
(2)選擇哪家比較合算?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共享單車(chē)的投放,方便了市民短途出行,被譽(yù)為中國(guó)“新四大發(fā)明”之一.某市為研究單車(chē)用戶(hù)與年齡的相關(guān)程度,隨機(jī)調(diào)查了100位成人市民,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
不小于40歲 | 小于40歲 | 合計(jì) | |
單車(chē)用戶(hù) | 12 | y | m |
非單車(chē)用戶(hù) | x | 32 | 70 |
合計(jì) | n | 50 | 100 |
(1)求出列聯(lián)表中字母x、y、m、n的值;
(2)①?gòu)拇藰颖局,?duì)單車(chē)用戶(hù)按年齡采取分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行深入調(diào)研,其中不小于40歲的人應(yīng)抽多少人?
②從獨(dú)立性檢驗(yàn)角度分析,能否有以上的把握認(rèn)為該市成人市民是否為單車(chē)用戶(hù)與年齡是否小于40歲有關(guān).
下面臨界值表供參考:
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】利用一半徑為4cm的圓形紙片(圓心為O)制作一個(gè)正四棱錐.方法如下:
(1)以O為圓心制作一個(gè)小的圓;
(2)在小的圓內(nèi)制作一內(nèi)接正方形ABCD;
(3)以正方形ABCD的各邊向外作等腰三角形,使等腰三角形的頂點(diǎn)落在大圓上(如圖);
(4)將正方形ABCD作為正四棱錐的底,四個(gè)等腰三角形作為正四棱錐的側(cè)面折起,使四個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)重合,問(wèn):要使所制作的正四棱錐體積最大,則小圓的半徑為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),
(1)由圖中數(shù)據(jù)求a的值;
(2)若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng),則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為多少?
(3)估計(jì)這所小學(xué)的小學(xué)生身高的眾數(shù),中位數(shù)(保留兩位小數(shù))及平均數(shù).
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