Question

一變壓器的鐵芯截面為正十字型（兩個(gè)全等的長方形，它們完全重合，把其中一個(gè)長方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后而得的組合圖叫正十字型），為保證所需的磁通量，要求十字應(yīng)具有cm²的面積，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)十字型寬x及y，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)�。�

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)面積求出長，然后表示出外接圓的周長，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可．
解答：解：設(shè)外接圓的半徑為R cm，則 R=．
由2xy-x²=，得 y=．
要使外接圓的周長最小，需要R取最小值，也即R²取最小值．
設(shè) f（x）=R²=++（0＜x＜2R），則 f'（x）=x-．
令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
當(dāng)0＜x＜2 時(shí)f'（x）＜0；當(dāng)x＞2 時(shí)，f'（x）＞0．
因此當(dāng)x=2時(shí)，y=，R²最小，即R最小，周長最小為π cm．
點(diǎn)評(píng)：本題通過設(shè)間接變量，由題意得到一個(gè)函數(shù)，再確定它的最小值．間接處理所研究的目標(biāo)，并用導(dǎo)數(shù)研究目標(biāo)函數(shù)的最小值，是解本題的關(guān)鍵所在．