Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（I）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形證得，由此證得平面.（II）以為原點(diǎn)，以、分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，

∵是棱的中點(diǎn)，∴，且，

∵，，，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

解：（Ⅱ）以為原點(diǎn)，以、分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

由，即，令，得，

設(shè)是平面的法向量，

由，即，令，得，

，

∵二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．