【題目】已知函數(shù),
.
(I)討論的單調(diào)性;
(II)若恒成立,證明:當
時,
.
(III)在(II)的條件下,證明:.
【答案】I.見解析;Ⅱ.見解析;III 見解析.
【解析】
I:對函數(shù)求導,分類討論導函數(shù)的正負,進而得到單調(diào)性;Ⅱ:通過分類討論可得到a=1,根據(jù),得到:
,進而得到結(jié)果; III:通過討論函數(shù)的單調(diào)性得到
,進而得到:
,由Ⅱ知
兩式相乘得到結(jié)果.
I.
若,f(x)在
上遞增;
若a>0,當時,
,f(x)單調(diào)遞增;
當時,
單調(diào)遞減。
Ⅱ.由I知,若a≤0,f(x)在(0,+)上遞增,又f(l)=0,故f(x)≤0不恒成立
若a>1,當時,f(x)遞減,f(x)>f(1)=0,不合題意。
若0<a<1,當時,f(x)遞增,f(x)>f(l)=0.不合題意。
若a=1.f(x)在(0,1)上遞增.在(1,+)上遞減,f(x)≤f(1)=0,合題意。
故a=1,且(當且僅當x=1時取 “=”)
當0<x1<x2時,
所以
III.
當時,
,
單調(diào)遞增;
當時,
,g(x)單調(diào)遞減。
①
由(Ⅱ)知(當且僅當x=1時取 “=”)........... ②
兩個不等式的等號不能同時取到,故得到:
①②得
即,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注,受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為
.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾(其中2男2女).
(1)求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率;
(2)設(shè)表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù),求
的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面ABCD是邊長為6的菱形,且
,
平面ABCD,
,F是棱PA上的一個動點,E為PD的中點.
Ⅰ
求證:
.
Ⅱ
若
.
求PC與平面BDF所成角的正弦值;
側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點E的一條直線,使得該直線上任一點M與C的連線,都滿足
平面BDF,若存在,求出此直線被直線PA、PD所截線段的長度,若不存在,請明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點,將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)證明:BE⊥平面D1AE;
(2)設(shè)F為CD1的中點,在線段AB上是否存在一點M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合 為集合U的n個非空子集,這n個集合滿足:①從中任取m個集合都有
成立;②從中任取
個集合都有
成立.
(Ⅰ)若,
,
,寫出滿足題意的一組集合
;
(Ⅱ)若,
,寫出滿足題意的一組集合
以及集合
;
(Ⅲ) 若,
,求集合
中的元素個數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓錐
的底面
的直徑,
是圓
上異于
的任意一點,以
為直徑的圓與
的另一個交點為
為
的中點.現(xiàn)給出以下結(jié)論:
①為直角三角形
②平面平面
③平面必與圓錐
的某條母線平行
其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A. 0B. 1C. 2D. 3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和拋物線E:y2=2px(p>0),圓C與拋物線E的準線交于M、N兩點,△MNF的面積為p,其中F是E的焦點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)不過原點O的動直線l交該拋物線于A,B兩點,且滿足OA⊥OB,設(shè)點Q為圓C上任意一動點,求當動點Q到直線l的距離最大時直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線C的方程為
.以坐標原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
.
(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程;
(2)若直線與
軸和y軸分別交于A,B兩點,P為曲線C上的動點,求△PAB面積的最大值.
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