Question

已知過點(diǎn)(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個不同點(diǎn)M和N。求曲線C在點(diǎn)M、N處切線的交點(diǎn)軌跡。

Answer 1

點(diǎn)P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點(diǎn)間的線段（不含端點(diǎn)）。

設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，曲線C在點(diǎn)M、N處的切線分別為l₁、l₂，其交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x_p，y_p)。若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1。
由方程組，消去y，得，即。由題意知，該方程在(0，+∞)上有兩個相異的實(shí)根x₁、x₂，故k≠1，且…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。對求導(dǎo)，得，則，，于是直線l₁的方程為，
即，化簡后得到直線l₁的方程為…(4)。同理可求得直線l₂的方程為…(5)。(4)-(5)得，因?yàn)?i>x₁≠x₂，故有…(6)。將(2)(3)兩式代入(6)式得x_p=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得，而x_p=2，得。又由得，即點(diǎn)P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點(diǎn)間的線段（不含端點(diǎn)）。