Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD= ，F(xiàn)是PB中點，E為BC上一點．

（1）求證：AF⊥平面PBC；
（2）當(dāng)BE為何值時，二面角C﹣PE﹣D為45°．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵AB=PA=1，AD= ，F(xiàn)是PB中點，

∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（ ，1，0），

=（0，1，-1）， =（ ，1，-1），F(xiàn)（0， ， ），

=（0， ， ），

∵ =0， =0，

∴AF⊥PB，AF⊥PC，

∴AF⊥平面PBC．

（2）解：設(shè)BE=a，∴E（a，1，0）， =（a- ，1，0）， =（ ，0，-1），

設(shè)平面PDE的法向量 =（x，y，z），

則 ，

取x=1，得 =（1， -a， ），

平面PCE的法向量為 =（0， ， ），

∵二面角C﹣PE﹣D為45°，

∴cos＜ , ＞= = ，

解得a= ，

∴當(dāng)BE= 時，二面角C﹣PE﹣D為45°．

AF⊥平面PBC．

【解析】（1）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF⊥平面PBC．（2）設(shè)BE=a，E（a，1，0求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出當(dāng)BE= 時，二面角C﹣PE﹣D為45°．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．