【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=|x﹣1|,若方程f(x)= 有4個不相等的實根,則實數(shù)a的取值范圍是(
A.(﹣ ,1)
B.( ,1)
C.( ,1)
D.(﹣1,

【答案】B
【解析】解:設x<0,則﹣x>0,

∵當x≥0時,f(x)=|x﹣1|,∴f(﹣x)=|﹣x﹣1|=|x+1|,

∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f(x)=f(﹣x)=|x+1|,

則f(x)= ,即

由f(x)= 得,f2(x)=x+a,

畫出函數(shù)y=x+a與y=f2(x)的圖象,如圖所示:

由圖知,當直線y=x+a過點A時有三個交點,

且A(1,1),此時a=1,

當直線y=x+a相切與點P時有三個交點,

由圖知,y=f2(x)=(x+1)2=x2+2x+1,

則y′=2x+2,令y′=2x+2=1得x= ,則y= ,

此時切點P( , ),代入y=x+a得a=

∵方程f(x)= 有4個不相等的實根,

∴函數(shù)y=x+a與y=f2(x)的圖象有四個不同的交點,

由圖可得,實數(shù)a的取值范圍是( ,1),

故選B.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關知識,掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.

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