Question

【題目】已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），滿足條件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥mx-3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=x2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，代入解析式，根據(jù)對(duì)應(yīng)位置系數(shù)相等，即可求得a、b、c的值，得到f（x）的解析式。

（Ⅱ）將解析式代入不等式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2-（m+1）x+4，即求當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)g（x） 4≥0恒成立。討論g（x）的對(duì)稱軸x=與0的大小關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱及單調(diào)性即可求得m的取值范圍。

（Ⅰ）由f（0）=1得，c=1，

由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x

化簡(jiǎn)得，2ax+a+b=2x，

所以：2a=2，a+b=1，

可得：a=1，b=-1，c=1，

所以f（x）=x2-x+1；

（Ⅱ）由題意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0，+∞）恒成立．

即：g（x）=x2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．

其對(duì)稱軸x=，

當(dāng)≤0，即m≤-1時(shí)，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

g（0）=4＞0

∴m≤-1成立

②當(dāng)＞0時(shí)，

滿足

計(jì)算得：-1＜m≤3

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，3]．