Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍.

（2）求的極大值與極小值之和的取值范圍.

（3）若，則是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）沒(méi)有最小值.見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合一元二次方程根的分布求得的取值范圍.

（2）根據(jù)（1）求得，求得的表達(dá)式，并利用導(dǎo)數(shù)求得這個(gè)表達(dá)式的取值范圍.

（3）由（2）假設(shè)，，則，求得的表達(dá)式，并利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)表達(dá)式的單調(diào)性，由此判斷出這個(gè)表達(dá)式?jīng)]有最小值，也即沒(méi)有最小值.

（1）定義域?yàn)?/span>，.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，

所以有兩個(gè)不同的正根，，解得.

（2）因?yàn)?/span>，不妨設(shè)，所以，，

所以

.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

即的極大值與極小值之和的取值范圍是.

（3）由（2）知.因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

因?yàn)?/span>，所以

.

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，

故沒(méi)有最小值.