Question

【題目】已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的交點(diǎn)。

（1）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求證：；

（2）若，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的最小值。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)1

【解析】

(1)求得拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理.求得過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)的方程，聯(lián)立兩條切線(xiàn)方程求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算，由此證得.當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)，根據(jù)直線(xiàn)的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)證得.從而證得成立.（2）根據(jù)題意求得拋物線(xiàn)的方程，當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式求得，求得點(diǎn)坐標(biāo)后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得三角形的高，由此求得三角形面積的表達(dá)式，利用配方法求得面積的最小值.當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)，求得三角形的面積為.綜上，的最小值為.

解：（1）由題意可得，

②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由得，∴，

過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，即，

過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，

由得，∴，

∵，∴；

②當(dāng)時(shí)，則直線(xiàn)，∴；

（2）由題意可得，

①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由，得，∴，

∴，

由（1）可得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別為，

由得，∴，

∴到直線(xiàn)的距離，

∴，

當(dāng)時(shí)，取最小值1；

②當(dāng)時(shí)，則直線(xiàn)，∴，

綜上，的最小值為1。