Question

【題目】如圖，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側棱CC1上，且不與點C重合．

（1）當CF=1時，求證：EF⊥A1C；

（2）設二面角C﹣AF﹣E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1，由直棱柱的性質可知，底面ABC⊥側面A1C

∴EN⊥側面A1C

NF為EF在側面A1C內的射影

在直角三角形CNF中，CN=1

則由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C

由三垂線定理可知EF⊥A1C

（2）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME

由（1）可知EN⊥側面A1C，根據三垂線定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ

設∠FAC=α則0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故當α=45°時，tanθ達到最小值，

tanθ=，此時F與C1重合