Question

10．設b_n=（n+1）²，a_n=n（n+1），求證：$\frac{1}{a{\;}_{1}+b{\;}_{1}}$+$\frac{1}{a{\;}_{2}+b{\;}_{2}}$+…+$\frac{1}{a{\;}_{n}+b{\;}_{n}}$＜$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 通過b_n=（n+1）²、a_n=n（n+1）可知a_n+b_n=（n+1）（2n+1），通過放縮可知$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），從第二項起并項相加即得結論．

解答 證明：∵b_n=（n+1）²，a_n=n（n+1），
∴a_n+b_n=（n+1）²+n（n+1）=（n+1）（2n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a{\;}_{1}+b{\;}_{1}}$+$\frac{1}{a{\;}_{2}+b{\;}_{2}}$+…+$\frac{1}{a{\;}_{n}+b{\;}_{n}}$
＜$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}$
＜$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．