Question

設函數f（x）=

a

•（

b

+

c

），其中向量

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），x∈R．
（1）求函數的最大值和最小正周期；
（2）求函數的對稱軸．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）根據向量數量積公式和三角恒等變換公式，化簡得f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

），再利用三角函數的周期與最值的公式，即可得解．
（2）由2x+

π

4

=kπ，k∈Z可解得故函數的對稱軸．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），
∴f（x）=

a

•（

b

+

c

）=sinx（sinx-cosx）-cosx（-3cosx+sinx）
=1-2sinxcosx+2cos²x
=2-sin2x+cos2x
=2+

2

cos（2x+

π

4

）．
∴f（x）_max=2+

2

，
∴T=

2π

2

=π，
（2）由2x+

π

4

=kπ，k∈Z可解得：x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
故函數的對稱軸是：x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標，求三角函數的周期、最值與單調區(qū)間．著重考查了向量數量積公式、三角恒等變換公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．