Question

已知二次函數f（x）=x²-2x+a，a∈R
（1）求不等式f（x）≥f（a）的解；
（2）若af（x）-a²+3＞0對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）f（x）≥f（a）可化為（x-a）[x-（2-a）]≥0，按照兩根2-a與a的大小關系分三種情況討論即可；
（2）af（x）-a²+3＞0即為ax²-2ax+3＞0恒成立，a=0時易求解；a≠0時借助二次函數圖象可得

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解出即可；

解答： 解：（1）f（x）≥f（a）即x²-2x+a≥a²-2a+a，亦即（x-a）[x-（2-a）]≥0，
①當2-a=a，即a=1時，不等式為（x-1）²≥0，解集為R；
②當2-a＞a，即a＜1時，不等式的解為{x|x≤a或x≥2-a}；
③當2-a＜a，即a＞1時，不等式的解為{x|x≤2-a或x≥a}；
綜上所述，當a=1時，不等式的解集為R；當a＜1時，不等式的解集為{x|x≤a或x≥2-a}；當a＞1時，不等式的解集為{x|x≤2-a或x≥a}；
（2）af（x）-a²+3＞0即為ax²-2ax+3＞0恒成立，
當a=0時，不等式為3＞0恒成立；
當a≠0時，有

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解得0＜a＜3；
綜上，a的取值范圍是0≤a＜3．

點評：本題考查二次不等式的求解、函數恒成立問題，屬中檔題．深刻理解“三個二次”間的關系是解題關鍵．