Question

旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售件。通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為。那么月平均銷售量減少的百分率為。改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的平均利潤(rùn)是y（元）。
（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大。

Answer 1

（1）
（2）產(chǎn)品的銷售價(jià)為30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的平均利潤(rùn)最大。

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值工，其中根據(jù)已知條件確定函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．
（2）由已知中如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x2．計(jì)算出改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x），月平均銷售量為2000（1-x²），整理可得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的解析式，利用結(jié)合x的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)法易得月平均利潤(rùn)最大值．
解：（1）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為，
用平均銷售量為件，
則月平均利潤(rùn)（元）
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為
（2）由（舍）
當(dāng)，函數(shù)y是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y是減函數(shù)。
∴函數(shù)取得最大值。
故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為=30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的平均利潤(rùn)最大。