【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列， ， ， 為階“期待數(shù)列”：

①；

②.

（）分別寫出一個單調(diào)遞增的階和階“期待數(shù)列”.

（）若某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式.

（）記階“期待數(shù)列”的前項和為，試證： .

【答案】(1)三階： ， ， 四階： ， ， ， ．(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）借助新定義利用等差數(shù)列，寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；

（Ⅱ）利用某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，通過公差為0，大于0．小于0，分別求解該數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）判斷k=n時， ，然后證明k＜n時，利用數(shù)列求和以及絕對值三角不等式證明即可.

試題解析：

（）三階： ， ， 四階： ， ， ， ．

（）設等差數(shù)列， ， ， ， 公差為，

∵，

∴，

∴，即，

∴且時與①②矛盾，

時，由①②得： ，

∴，即，

由得，即，

∴，

令，

∴，

時，同理得，

即，

由得即，

∴，

∴時， ．

（）當時，顯然成立；

當時，根據(jù)條件①得，

，

即，

，

∴，

∴．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本題分）

如圖， 和所在的平面互相垂直，且， ．

（Ⅰ）求證： ．

（Ⅱ）求直線與面所成角的大小的正弦值．

（Ⅲ）求二面角的大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為坐標原點， ， 是橢圓上的點，且，設動點滿足．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點，求三角形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的上、下、左、右四個頂點分別為x軸正半軸上的某點滿足.

(1)求橢圓的方程;

(2)設該橢圓的左、右焦點分別為,點在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1 ,在△ABC中，AB=BC=2, ∠B=90°,D為BC邊上一點，以邊AC為對角線做平行四邊形ADCE，沿AC將△ACE折起，使得平面ACE ⊥平面ABC,如圖2.

(1)在圖 2中，設M為AC的中點，求證:BM丄AE；

(2)在圖2中，當DE最小時，求二面角A -DE-C的平面角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是線段BC上一點，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF.

(1)試確定F的位置；

(2)求三棱錐A－CDF的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設一半徑為米圓心角為（弧度）的扇形景觀水池，其中為扇形的圓心，同時緊貼水池周邊建一圈理想的無寬度步道，要求總預算費用不超過萬元，水池造價為每平方米元，步道造價為每米元.

（1）當和分別為多少時，可使廣場面積最大，并求出最大值；

（2）若要求步道長為米，則可設計出水池最大面積是多少.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，點B恰好經(jīng)過原點．設頂點P(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對函數(shù)y＝f(x)有下列判斷：

①若－2≤x≤2，則函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；

②對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；

③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減；

④函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù)．

其中判斷正確的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]

平面直角坐標系xOy中，射線l：y＝x(x≥0)，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，曲線C2的方程為x2＋(y－2)2＝4；以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系. 曲線C3的極坐標方程為ρ＝8sin θ.

(Ⅰ)寫出射線l的極坐標方程以及曲線C1的普通方程；

(Ⅱ)已知射線l與C2交于O，M，與C3交于O，N，求|MN|的值．

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