【題目】已知為坐標(biāo)原點, , 是橢圓上的點,且,設(shè)動點滿足.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點,求三角形面積的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)設(shè)點, , ,結(jié)合整理變形可得動點的軌跡的方程為.
(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程可得,理由弦長公式有 ,且點到直線的距離,據(jù)此可得面積函數(shù): ,即三角形面積的最大值為.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè)點, , ,
則由,得,
即, ,因為點在橢圓上,
所以, ,
故
,
因為,
所以動點的軌跡的方程為.
(Ⅱ)將曲線與直線聯(lián)立: ,消得: ,
∵直線與曲線交于兩點,設(shè), ,
∴ ,又∵,得,
, ,
∴ ,
∵點到直線的距離,
∴
,當(dāng)時等號成立,滿足(*)
∴三角形面積的最大值為.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程是,將向上平移2個單位得到曲線.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),判斷直線與曲線的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點及線段,在線段上任取一點,線段長度的最小值稱為“點到線段的距離”,記為.
(1)設(shè)點,線段 ,求;
(2)設(shè), , , ,線段,線段,若點滿足,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出該函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,全校學(xué)生參加了這次競賽,為了了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計,請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表(如圖所示),解決下列問題.
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2組 | [60,70) | a | ■ |
第3組 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4組 | [80,90) | ■ | 0.08 |
第5組 | [90,100] | 2 | b |
合計 | ■ | ■ |
(1)求出a,b的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動.
①求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率;
②求所抽取的2名同學(xué)來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓與軸的非負(fù)半軸交于點,過點作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于兩點,連接,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點是圓內(nèi)的一個定點,點是圓上的任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點,當(dāng)點在圓上運動時,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)點, ,直線與軸交于點,直線與軸交于點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列, , , 為階“期待數(shù)列”:
①;
②.
()分別寫出一個單調(diào)遞增的階和階“期待數(shù)列”.
()若某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式.
()記階“期待數(shù)列”的前項和為,試證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一張紙的長、寬分別為2a,2a,A,B,C,D分別是其四條邊的中點,現(xiàn)將其沿圖中虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四點重合為一點P,從而得到一個多面體,關(guān)于該多面體的下列命題,正確的是________(寫出所有正確命題的序號).
①該多面體是三棱錐;②平面BAD⊥平面BCD;
③平面BAC⊥平面ACD;④該多面體外接球的表面積為5πa2.
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