Question

6．已知α，β為銳角，cosα=$\frac{1}{7}，sin（α+β）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，則cosβ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用兩角差的三角公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β為銳角，cosα=$\frac{1}{7}$＜$\frac{1}{2}$，∴α＞$\frac{π}{3}$，sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
又 sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，∴α+β 為鈍角，∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{11}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{11}{14}$•$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的三角公式的應用，屬于基礎題．