Question

9．己知函數(shù)f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+1（x∈R）．
（1）求f（$\frac{5π}{12}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）首先，化簡函數(shù)解析式，得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后，求解即可；
（2）結(jié)合（1），然后，借助于三角函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+1，
=$\sqrt{3}$sin2x-（1+cos2x）+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（$\frac{5π}{12}$）=2sin[2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$]
=2sin$\frac{2π}{3}$
=$\sqrt{3}$，
（2）根據(jù)（1）知，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∵$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$≤2x≤π，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的最小值1，最大值為2．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了輔助角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．