Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=25，圓O₁的圓心為O₁（m，0）且與圓O交于點(diǎn)P（3，4），過點(diǎn)P且斜率為（k≠0）的直線l分別交圓O，O₁于點(diǎn)A，B．
（1）若k=1，且BP=7

2

，求圓O₁的方程；
（2）過點(diǎn)P作垂直于直線l的直線l₁分別交圓O，O₁于點(diǎn)C，D．當(dāng)m為常數(shù)時(shí)，試判斷AB²+CD²是否是定值？若是定值，求出這個(gè)值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）通過K=1，BP=7

2

，利用圓心到直線的距離與半徑半弦長(zhǎng)的關(guān)系，求出m的值，然后求圓O₁的方程；
（2）設(shè)出A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線AB方程，通過方程組求出x₁，x₂，利用弦長(zhǎng)公式求出AB，CD然后求出它們的和，即可判斷是否是定值．

解答： 解：（1）K=1時(shí)，直線l：y-4=x-3，即x-y+1=0，
由題意得：(

|m+1|

2

)2+(

7 2

2

)2=(m-3)2+42，
整理得，m²-14m=0，解得m=14或m=0（舍去），
所以圓O₁的方程為（x-14）²+y²=137．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直線l：y-4=k（x-3），即y=kx-（3k-4），
由

y=kx-(3k-4) x2+y2=25

消去y得，（k²+1）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0，
由韋達(dá)定理得3x₁=

9k2-24k-9

k2+1

，
得x₁=

3k2-8k-3

k2+1

．
由

y=kx-(3k-4) (x-m)2+y2=(m-3)2+16

消去y得，（k²+1）x²+（8k-6k²-2m）x+9k²-24k-9+6m=0，
由韋達(dá)定理得3x₂=

9k2-24k-9+6m

k2+1

，
得x₂=

3k2-8k-3+2m

k2+1

．
所以，x₁-x₂=

2m

k2+1

，
AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（k²+1）（x₁-x₂）²=（k²+1）(

2m

k2+1

)2=

4m2

k2+1

．
同理可得，CD²=

4m2k2

k2+1

，
所以，AB²+CD²=

4m2

k2+1

+

4m2k2

k2+1

=4m² 為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．