Question

已知函數(shù)f(x)=|

1

x

-1|
（1）由函數(shù)y=

1

x

的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到函數(shù)y=f（x）的圖象？請(qǐng)作出y=f（x）的圖象；
（2）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù) 解析式知，可將函數(shù)y=

1

x

的圖象向下平移一個(gè)單位，再把所得的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱得到函數(shù)f(x)=|

1

x

-1|的圖象；
（2）由題設(shè)條件存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，及函數(shù)的圖象可以判斷出m＞0，a＞0再分三類對(duì)m的取值范圍進(jìn)行討論，即0＜a＜b≤1，0＜a＜b≤1，1≤a＜b三類，在每一類中確定出函數(shù)的最值，將其轉(zhuǎn)化為方程，分別解出符合條件的m的范圍，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）將函數(shù)y=

1

x

的圖象向下平移一個(gè)單位，再把所得的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱，就可得到函數(shù)y=f（x）的圖象．…（3分）
（2）由題意知a＜b，ma＜mb，
∴m＞0．
又∵f（x）≥0，
∴ma≥0．而a≠0，
∴a＞0，
∴ma＞0…（8分）
當(dāng)0＜a＜b≤1時(shí)，
則

f(a)=mb f(b)=ma

⇒a=b矛盾…（9分）
當(dāng)0＜a＜1＜b時(shí)，
∵f（1）=0∉[ma，mb]矛盾…（10分）
當(dāng)1≤a＜b時(shí)，則

f(a)=ma f(b)=mb

即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

∴1-

1

x

=mx，即mx²-x+1=0在[1，+∞）上有兩個(gè)不等根
記g（x）=mx²-x+1，則

1 2m ＞1 △＞0 g(1)≥0

解得0＜m＜

1

4

…（14分）
答：所求參數(shù)m的取值范圍是0＜m＜

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)圖象的變化，集合相等的意義，函數(shù)的值域概念，解題的關(guān)鍵理解題意，分類轉(zhuǎn)化研究參數(shù)的取值范圍本題考查了分類計(jì)件思想、方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想，考查了判斷推理的能力，分類討論的技巧