Question

19．若不等式2x²+（1-a）y²≥（3+a）xy（x＞0，y＞0）恒成立．則實(shí)數(shù)a的最大值為4$\sqrt{3}$-7．

Answer 1

分析 化簡不等式可得a≤$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，令$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$，再令b=$\frac{x}{y}$＞0，則$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$=$\frac{2^{2}-3b+1}{b+1}$，令f（b）=$\frac{2^{2}-3b+1}{b+1}$=2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$-7，從而利用基本不等式求最小值，從而解得．

解答 解：∵2x²+（1-a）y²≥（3+a）xy，
∴2x²+y²-3xy≥a（y²+xy），
又∵x＞0，y＞0，
∴a≤$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
令$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$，
令b=$\frac{x}{y}$＞0，則$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$=$\frac{2^{2}-3b+1}{b+1}$，
令f（b）=$\frac{2^{2}-3b+1}{b+1}$=2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$-7，
∵2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$≥4$\sqrt{3}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)2（b+1）=$\frac{6}{b+1}$，即b=$\sqrt{3}$-1時，等號成立），
∴2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$-7≥4$\sqrt{3}$-7，
∵a≤$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$恒成立，
∴a≤4$\sqrt{3}$-7，
故答案為：4$\sqrt{3}$-7．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的化簡與恒成立問題的化簡與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)與不等式的關(guān)系應(yīng)用．