Question

設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=4-a^|x-2|-2•a^x-2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，可求出任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再利用這兩點(diǎn)都在圖象上，得到函數(shù)的解析式；
（2）利用圖象特征研究方程有不同的正根，得到參數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)，P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)為P′（x′，y′），
則

x+x′

2

=1，

y+y′

2

=2，
于是x′=2-x，y′=4-y，
因?yàn)镻′（x′，y′）在函數(shù)g（x）的圖象上，
所以y′=4-a^|x'-2|-2•a^x'-2，
即4-y=4-a^|-x|-2•a^-x，y=a^|x|+2•a^-x，
所以f（x）=a^|x|+2•a^-x．
（2）令a^x=t，因?yàn)閍＞1，x＞0，所以t＞1，
所以方程f（x）=m可化為t+

2

t

=m，
即關(guān)于t的方程t²-mt+2=0有大于1的相異兩實(shí)數(shù)解．
作h（t）=t²-mt+2，則

h(1)＞0 m 2 ＞1 m2-8＞0

，
解得2

2

＜m＜3；
所以m的取值范圍是(2

2

 ， 3)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)圖象與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有一定的思維難度，屬于中檔題．