Question

已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過原點(diǎn)的射線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，與圓的交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題考查直線、圓、橢圓、平面向量、分式函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想．第一問，數(shù)形結(jié)合，令y=0，x=0即可分別求出c和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出直線方程和P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，令直線與橢圓聯(lián)立得到Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，將P、Q點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；法二，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成，再利用配方法求最值.
試題解析：（1）在中，
令得，即，令，得，即，      2分
由，∴橢圓：.                   4分
（2）法一：依題意射線的斜率存在，設(shè)，設(shè) -5分
得：，∴.        6分
得：，∴，        7分
∴.      9分
．
設(shè)，，
令，得．
又，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.            11分
∴當(dāng)時(shí)，，即的最大值為.         13分
法二：依題意射線的斜率存在，設(shè)，設(shè)      5分
得：，∴.              6分

=           9分
.
設(shè)，則.
當(dāng)且僅當(dāng)即.
法三：設(shè)點(diǎn)，，
                   6分
= .                          7分
又，
設(shè)與聯(lián)立得： .      9分
令.           11分
又點(diǎn)在第一象限，∴當(dāng)時(shí)，取最大值.     13分