Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+4x+3a，且f（1）=0，求：
（1）函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=0求得a=-1，可得 f（x）=-（x-1）（x-3），由此可得函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（2）由于f（x）=-（x-2）²+1，它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=2，再分對(duì)稱軸在區(qū)間[t，t+1]左側(cè)、右側(cè)、中間三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值．
當(dāng)t＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為f（t）=-t²+4t+-3；
當(dāng)t+1＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，函數(shù)的最大值為f（t+1）=-（t+1）²+4（t+1）-3=-t²+2t；
當(dāng)2∈[t，t+1]時(shí)，函數(shù)的最大值

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+4x+3a，且f（1）=0，∴4a+4=1，∴a=-1，
∴f（x）=-x²+4x+-3=-（x-1）（x-3），故函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
（2）由于f（x）=-x²+4x+-3=-（x-2）²+1，它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=2，
當(dāng)t＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為f（t）=-t²+4t+-3；
當(dāng)t+1＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，函數(shù)的最大值為f（t+1）=-（t+1）²+4（t+1）-3=-t²+2t；
當(dāng)2∈[t，t+1]時(shí)，函數(shù)的最大值為f（2）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．